И вот прошло с тех пор полтора века. Но и теперь еще, по Афанасьеву ([3] c 172): “Электрический скалярный потенциал φ и магнитный векторный потенциал А в классической теории электромагнетизма играют вспомогательную роль (выделено - ВМ); они служат, главным образом, для упрощения уравнений поля. Допустимы произвольные калибровочные преобразования, не меняющие напряженностей электромагнитного поля ”.

И это одно из наиболее поздних мнений, высказанных по поводу векторного потенциала.

Оно повторяет ([15] с 253): “Связь потенциалов и полей не является взаимно однозначной, поэтому В.п. следует рассматривать как вспомогат. величину, не допускающую прямых измерений, но облегчающую расчет эл.-магн. полей”.

Чем же он заслужил такое отношение к нему физиков? С одной стороны тем, что в самом общем случае он действительно не обладает ни определенностью, ни однозначностью,

rot A = rot (A₁ + grad φ),

так как всегда rot grad φ ≡ 0. Значит, делают вывод физики, не обладает ни измеримостью, ни силовыми качествами. В этом случае, с другой стороны, им можно «манипулировать» при калибровочных преобразованиях. И это делало его «удобным».

Есть, однако, и третья сторона. Без него лагранжиан был бы неполным. Шпольский [4, с 108-110] объяснил это так: “… магнитное поле действует на электрон с силой Лоренца…

F = (e/c) [v H]

Эта сила…. не имеет потенциала. Несмотря на эту особенность, можно и в этом случае

выбрать функцию L таким образом, чтобы сохранить весь формальный аппарат механики Лагранжа и Гамильтона”. И далее:

“Для того чтобы написать уравнения движения частицы (электрона) с массой m и зарядом e в электромагнитном поле, выберем функцию Лагранжа L следующим образом:

L = T – eφ + (v А).

Покажем теперь, что эта функция Лагранжа ведет к правильным уравнениям движения частицы в электромагнитном поле”. И это было показано на самом деле: “Мы видим…, что выбранная нами функция Лагранжа… приводит к правильным следствиям.” Производные от слова «выбирать» выделены здесь нами, чтобы подчеркнуть, как они, φ и А, появились в квантовой физике. Отсюда становится понятной и запись обобщенного импульса (кинетического) p = dL /dv

p = m v + (е/с) A (1)
Задержим свое внимание на векторном потенциале, так как остается какое-то чувство неудовлетворенности. Дело в том, что в выражении силы Лоренца

m v۠ = (e/c) [v H]            (2)

можно заменить H = rot A.

Воспользовавшись теоремой Стокса для поперечного сечения (π r²) магнитного вихря, найдем (здесь и ниже, проще обходиться там, где это допустимо, без символов векторов)

2 π r A = π r² H,

откуда (см. также [6 с. 67] и [18 с 181])

2A = r H (3)

или

rot A = 2A /r = Н , (4)

где A - векторный потенциал (ВП) на поверхности этого (цилиндрического) вихря с заданным r. Следовательно, можно (2) переписать в виде

m v۬۬ = (e/c) [v H] = (e/c) [v rot A] = (2e/cr) [v A] .          (5)

۬ При рассмотрении поперечных сечений вихря магнитного поля, созданного движущимся электроном, направление векторного потенциала A будет определяться направлением вектора скорости v электрона, потому что вектор скорости v всегда взаимодействует с A, принадлежащим той точке поверхностной циркуляции ВП, которой касается вектор A. Они в этом случае лежат в одной плоскости и потому A || v. Поэтому можно принять (для этого частного случая)

|[v A]| = (v A) ? (6)

Ниже будет показано, что для электрона, движущегося (в поперечном сечении) внешнего магнитного поля, имеет место так же однозначная связь

v = (2e/mc) A, (7)

а при его движении вне магнитного поля

v = (e/mc) A. (7а)

Отсюда видно, что эти векторы действительно параллельны v || A .