В. Мантуров

Прямой метод вычисления потенциальной энергии системы точечных зарядов, аналогичной решетке типа NaCl

Определена и рассмотрена система 2N+-(1) зарядов по типу ионной решетки NaCl. В отличие от известных с начала ХХ века методов вычисления их потенциальной энергии и, в частности, постоянной Маделунга, предложен новый метод, метод прямого суммирования, ранее считавшийся неприменимым (невозможным).

Назовем системой 2N +-(1) зарядов такую систему равных по величине точечных зарядов, состоящей из одинакового (или отличающегося лишь на единицу) их числа ,которая образует решетку типа кристаллической решетки, например, NaCl.

Наложим на нее (систему) геометрические связи. Тогда такая система, как и аналогичные ей становятся системами, не подпадающими под теорему Ирншоу.

Задача, решавшаяся в работе, не нова. В начале ХХ века при разработке теории ионных решеток Маделунг [1] ввел понятие о постоянной (для каждого типа решетки) величине электростатической энергии, приходящейся на один не находящийся у поверхности ион при взаимодействии его со всеми другими. Эта важная для описания кристаллов характеристика получила в дальнейшем название постоянной Маделунга. Такое специфическое определение было обусловлено вот чем. Маделунг попытался использовать метод прямого суммирования, но не добился успеха. Тогда он выполнил вычисление величины этой постоянной, применив теорию потенциалов[1].

Вскоре Эвальдом [2] был разработан (стохастический) более мощный и более общий метод вычисления постоянной Маделунга. Впоследствии этот метод был значительно упрощен Эвьеном [3] и др. авторами.

Статистические методы вычисления постоянной Маделунга получили дальнейшее развитие [4, 5, 6], в то время как метод прямого суммирования сил кулоновского взаимодействия был признан невозможным для осуществления [4, 5]. Стало общепринятым считать, что решение задачи методом прямого суммирования в трехмерном случае далеко не просто. «Нет возможности сколько-нибудь обоснованно выписать члены ряда в определенной последовательности, невозможно также сколько-нибудь просто просуммировать ряды» [4 стр. 94].

« …трудность возникает вследствие медленного спада кулоновского взаимодействия с расстоянием (дальнодействующие связи), что делает невозможной процедуру прямого суммирования» [5 стр. 15].

Здесь излагается именно метод прямого суммирования электростатической энергии системы 2N+-(1) зарядов. Ниже дана оценка эффективности этого метода.

Был найден как удобный способ записи ряда, так и достаточно простой метод его суммирования. При этом существенно улучшилась сходимость ряда и открылась возможность на много порядков сократить число необходимых для расчета операций.