Оценка эффективности метода прямого суммирования

Проследим это на примере системы зарядов кубической конфигурации. Будем исходить из формул безразмерной суммы (3) и числа связей (7)по параметру λ

Пусть l., m, n. <<. L., тогда как L = M = N. В этом случае при росте L. предел произведения сомножителей

Lim L³ (1 –l/L ) (1 – m/M) (1 – n/N) = L³

Одновременно возрастает число связей при l # m # n # 0, при которых P и h принимают максимальные значения, соответственно 6 и 4. Таким образом

Lim A_λ = 48 L³ (9)

Определим количество A_λ , составляющих безразмерную сумму S_λ. Для этого построим такую табличку:

l m n

0 0 0 g₀ = 1

1 0 0

1 1 0 g₁ = 1 + (1 + 1)

1 1 1

2 0 0

2 1 0

2 1 1

2 2 0 g₂ = 1 + (1 + 1) + (1 + 2)

2 2 1

2 2 2

3 0 0

3 1 0

3 1 1

3 2 0 g₃ = 1 + (1 + 1) + (1 + 2) + (1 + 3)

………………

Нетрудно установить следующую закономерность

g_L = 1 + L +ΣL = (1 + L) + (1 + L)L = 1 + 3L/2 + L²/2

Сумма G таких операций выразится в виде

G = Σg_L

C учетом ΣL² = L(L + 1) (L + 2) /6, получим

G_max = L³/6 + L² +L11/6.

Для дальнейшей оценки из только что полученной суммы сохраним лишь первое слагаемое

G_max ~L ³/6 (10)

Тогда

A_lmn G_max = 48 L³ L³/6 = 8L⁶ . (11)

Что и требовалось показать. (Примечание: это так близко к тому, что было использовано Планком из теории Больцмана [8. (9.9) c 110-111 ] )

Следует заметить, однако, что показанный выигрыш охватил еще далеко не все операции. На самом деле при этом будут уже охвачены и многие промежуточные операции, такие как учет знака заряда, соответствующего его положению в решетке, деление на квадратный корень из λ и т.д.